La règle de la puissance

Prenons $\log_{2}\left(8^{2}\right)$. Puisque $8 = {2}^{3}$, la puissance est ${\left({2}^{3}\right)}^{2}$, ce qui donne ${2}^{6}$ : une puissance élevée à une puissance multiplie les exposants. Le logarithme vaut donc 6, soit 2 fois 3, l’exposant multiplié par le logarithme de 8. C’est la règle de la puissance :

$$\log_{b}\left(M^{k}\right) = k\log_{b}\left(M\right)$$

Cette propriété est valable pour M positif, et l’exposant passe devant le logarithme. Pourquoi ? Si M est égal à b puissance p, alors M puissance k est égal à b puissance kp. On peut aussi voir cela comme une répétition de la règle du produit : $\log_{b}\left(M^{3}\right)$ est le logarithme de M fois M fois M, soit trois logarithmes de M additionnés.

Avec une lettre, fais attention au signe. Pour x > 0, $\log_{3}\left(x^{4}\right)$ devient $4\log_{3}\left(x\right)$. Pour x = -1, le membre de gauche est $\log_{3}\left(1\right)$, qui vaut 0, mais $\log_{3}\left(-1\right)$ n’a pas de valeur, donc la règle nécessite que x soit positif. La règle fonctionne dans toutes les bases, y compris la base 10.