La règle de la puissance

Prenons log_2(8^2). Puisque 8 = 2^3, la puissance est (2^3)^2, ce qui donne 2^6 : une puissance élevée à une puissance multiplie les exposants. Le logarithme vaut donc 6, soit 2 fois 3, l’exposant multiplié par le logarithme de 8. C’est la règle de la puissance :

log_b(M^k) = k log_b(M)

Cette propriété est valable pour M positif, et l’exposant passe devant le logarithme. Pourquoi ? Si M est égal à b puissance p, alors M puissance k est égal à b puissance kp. On peut aussi voir cela comme une répétition de la règle du produit : log_b(M^3) est le logarithme de M fois M fois M, soit trois logarithmes de M additionnés.

Avec une lettre, fais attention au signe. Pour x > 0, log_3(x^4) devient 4log_3(x). Pour x = -1, le membre de gauche est log_3(1), qui vaut 0, mais log_3(-1) n’a pas de valeur, donc la règle nécessite que x soit positif. La règle fonctionne dans toutes les bases, y compris la base 10.