En un seul logarithme

Les trois règles fonctionnent aussi dans l’autre sens, et permettent alors de combiner les logarithmes en un seul. Pour x positif, une somme de logarithmes de même base est le logarithme d’un produit : $\log_{3}\left(x\right)+\log_{3}\left(4\right) = \log_{3}\left(4x\right)$. Une différence est le logarithme d’un quotient : $\log_{3}\left(x\right)-\log_{3}\left(4\right) = \log_{3}\left(\frac{x}{4}\right)$. Et un nombre placé devant devient un exposant : $2\log_{3}\left(x\right) = \log_{3}\left(x^{2}\right)$.

Pourquoi s’en soucier ? Une équation avec un seul logarithme est à une étape de sa résolution : on élève les deux côtés à la puissance de la base, comme dans le chapitre précédent. La combinaison des logarithmes permet aux équations logarithmiques plus longues d’aboutir à cette étape.

Les règles ne combinent que les logarithmes ayant la même base. $\log_{2}\left(x\right)+\log_{3}\left(x\right)$ ne peut pas devenir un seul logarithme, car chaque règle découle des puissances d’une même base. Lorsqu’un nombre se trouve devant, transforme-le d’abord en puissance, puis combine.