La règle du produit

Prenons $\log_{3}\left(9\cdot 27\right)$. Puisque $9 = {3}^{2}$ et $27 = {3}^{3}$, le produit est ${3}^{2}\cdot {3}^{3}$, ce qui donne ${3}^{5}$ : les exposants s’additionnent lorsque l’on multiplie des puissances. Le logarithme vaut donc 5, soit 2 plus 3, le logarithme de 9 plus le logarithme de 27. C’est la règle du produit :

$$\log_{b}\left(MN\right) = \log_{b}\left(M\right)+\log_{b}\left(N\right)$$

Cela vaut pour tous M et N positifs, pour la même raison. Les logarithmes sont des exposants : si M est égal à b à la puissance p et N à b à la puissance q, alors MN est égal à b à la puissance $p+q$. Ainsi, le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes.

Cette règle est surtout utile lorsqu’un des facteurs est une lettre. Pour x positif, $\log_{3}\left(9x\right)$ devient $\log_{3}\left(9\right)+\log_{3}\left(x\right)$, et $\log_{3}\left(9\right)$ vaut 2, donc cela donne $2+\log_{3}\left(x\right)$.