La règle du produit

Prenons log_3(9 × 27). Puisque 9 = 3^2 et 27 = 3^3, le produit est 3^2 × 3^3, ce qui donne 3^5 : les exposants s’additionnent lorsque l’on multiplie des puissances. Le logarithme vaut donc 5, soit 2 plus 3, le logarithme de 9 plus le logarithme de 27. C’est la règle du produit :

log_b(MN) = log_b(M) + log_b(N)

Cela vaut pour tous M et N positifs, pour la même raison. Les logarithmes sont des exposants : si M est égal à b à la puissance p et N à b à la puissance q, alors MN est égal à b à la puissance p + q. Ainsi, le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes.

Cette règle est surtout utile lorsqu’un des facteurs est une lettre. Pour x positif, log_3(9x) devient log_3(9) + log_3(x), et log_3(9) vaut 2, donc cela donne 2 + log_3(x).