La règle du quotient

Considérons $\log_{2}\left(\frac{64}{4}\right)$. Puisque $64 = {2}^{6}$ et $4 = {2}^{2}$, le quotient est ${2}^{4}$ : les exposants se soustraient quand on divise des puissances. Le logarithme est donc égal à 4, soit 6 moins 2, le logarithme du numérateur moins celui du dénominateur. C’est la règle du quotient :

$$\log_{b}\left(\frac{M}{N}\right) = \log_{b}\left(M\right)-\log_{b}\left(N\right)$$

Cela est valable pour M et N positifs, et la raison est la même que pour la règle du produit. Si M vaut b à la puissance p et N vaut b à la puissance q, alors M divisé par N vaut b à la puissance p moins q. L’ordre compte : on commence par le logarithme du numérateur, puis on soustrait celui du dénominateur.

Avec une lettre positive au numérateur : $\log_{2}\left(\frac{x}{16}\right)$ devient $\log_{2}\left(x\right)-\log_{2}\left(16\right)$, et $\log_{2}\left(16\right)$ vaut 4, donc on obtient $\log_{2}\left(x\right)-4$. Ne divise pas les logarithmes : le logarithme d’un quotient est une différence de logarithmes, pas un quotient de logarithmes.