Sommes infinies

Coupe un gâteau en deux, puis coupe le reste en deux, et continue ainsi. Les morceaux représentent 1/2, 1/4, 1/8, ... du gâteau, et leur somme ne peut jamais dépasser le gâteau entier. Une somme qui continue à l’infini peut avoir une réponse finie.

Regarde la formule de la somme S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r). Quand r est compris entre -1 et 1, r^n tend vers 0 à mesure que n augmente : (1/2)^10 est déjà inférieur à un millième. Ainsi, pour une somme infinie, le terme r^n disparaît et

S = a(1)/(1 - r)

Pour 10 + 5 + 5/2 + ..., le rapport est 1/2, donc S = 10/(1 - 1/2), ce qui donne 20. Si r est supérieur ou égal à 1, ou inférieur ou égal à -1, les termes ne diminuent jamais et la somme n’a pas de valeur finie.