Sommes infinies

Coupe un gâteau en deux, puis coupe le reste en deux, et continue ainsi. Les morceaux représentent 1/2, 1/4, 1/8, ... du gâteau, et leur somme ne peut jamais dépasser le gâteau entier. Une somme qui continue à l’infini peut avoir une réponse finie.

Regarde la formule de la somme $S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$. Quand r est compris entre -1 et 1, ${r}^{n}$ tend vers 0 à mesure que n augmente : ${\frac{1}{2}}^{10}$ est déjà inférieur à un millième. Ainsi, pour une somme infinie, le terme ${r}^{n}$ disparaît et

$$S = \frac{a\left(1\right)}{1-r}$$

Pour $10+5+\frac{5}{2}+...$, le rapport est 1/2, donc $S = \frac{10}{1-\frac{1}{2}}$, ce qui donne 20. Si r est supérieur ou égal à 1, ou inférieur ou égal à -1, les termes ne diminuent jamais et la somme n’a pas de valeur finie.