Sommes géométriques

Ajoute 1 + 4 + 16 + 64 à l’aide d’une astuce. Appelle la somme S, puis multiplie chaque terme par le rapport 4 : 4S = 4 + 16 + 64 + 256. Les deux listes ont 4, 16 et 64 en commun, donc en soustrayant S de 4S, ces termes s’annulent : 4S - S = 256 - 1. On obtient 3S = 255, donc S vaut 85.

La même soustraction fonctionne pour toute suite géométrique et donne la somme de ses n premiers termes :

S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r)

Ici, n compte les termes, donc la puissance est r^n, et non r^(n - 1). Vérifie : 1 × (1 - 4^4)/(1 - 4) vaut -255 divisé par -3, soit 85. La formule ne fonctionne que lorsque r vaut 1, car son dénominateur est alors égal à 0 ; dans ce cas, tous les termes sont identiques et la somme vaut n fois le premier terme.