Sommes géométriques

Ajoute $1+4+16+64$ à l’aide d’une astuce. Appelle la somme S, puis multiplie chaque terme par le rapport 4 : $4S = 4+16+64+256$. Les deux listes ont 4, 16 et 64 en commun, donc en soustrayant S de 4S, ces termes s’annulent : $4S-S = 256-1$. On obtient $3S = 255$, donc S vaut 85.

La même soustraction fonctionne pour toute suite géométrique et donne la somme de ses n premiers termes :

$$S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$$

Ici, n compte les termes, donc la puissance est ${r}^{n}$, et non ${r}^{n-1}$. Vérifie : $\frac{1\cdot \left(1-{4}^{4}\right)}{1-4}$ vaut -255 divisé par -3, soit 85. La formule ne fonctionne que lorsque r vaut 1, car son dénominateur est alors égal à 0 ; dans ce cas, tous les termes sont identiques et la somme vaut n fois le premier terme.