Perché gli esponenti si moltiplicano

Gli esponenti si moltiplicano perché la regola del prodotto si applica a copie identiche. $\left(x^{2}\right)^{4}$ è il prodotto di quattro copie di $x^{2}$: $x^{2}x^{2}x^{2}x^{2}$. Tutte e quattro le copie hanno la stessa base, quindi la regola del prodotto somma gli esponenti: $2+2+2+2 = 8$. Sommare lo stesso numero quattro volte equivale a moltiplicarlo per 4, cioè $2\cdot 4$.

Quindi la regola della potenza di una potenza deriva dalla regola del prodotto. Si applica la regola del prodotto a copie identiche di una potenza, e l’addizione ripetuta diventa una moltiplicazione.

Il risultato è $\left(x^{2}\right)^{4} = x^{8}$. Lo stesso ragionamento vale per qualsiasi esponente. Se ogni copia contiene $m$ fattori e ci sono $n$ copie, in tutto ci sono $mn$ fattori.