Eine Scheinlösung

Löse ln(x) + ln(x + 4) = ln(5). Fasse die linke Seite zu ln(x(x + 4)) zusammen, setze die Argumente gleich, und du erhältst x^2 + 4x - 5 = 0, was sich zu (x + 5)(x - 1) = 0 faktorisieren lässt. Die Kandidaten sind 1 und -5.

Setze -5 in die zusammengefasste Gleichung ein, und es scheint zu passen: x(x + 4) ist -5 mal -1, also 5. Setze den Wert in die ursprüngliche Gleichung ein, und sie ist sofort nicht erfüllt, da ln(-5) keinen Wert hat. Also ist -5 eine falsche Lösung, auch Scheinlösung genannt, und nur x = 1 bleibt übrig.

Woher kommt sie? Beim Original muss jede Eingabe positiv sein: x und x + 4 müssen beide größer als 0 sein. Beim zusammengefassten Logarithmus muss nur ihr Produkt positiv sein, und auch zwei negative Zahlen ergeben ein positives Produkt. Durch das Zusammenfassen der Logarithmen wurde die Bedingung gelockert, sodass die quadratische Gleichung eine Lösung zuließ, die das Original nie erlaubt hat. Deshalb prüfst du immer die ursprüngliche Gleichung, niemals eine Zeile, die du selbst aufgestellt hast.