Die Produktregel

Nehmen wir $\log_{3}\left(9\cdot 27\right)$. Da $9 = {3}^{2}$ und $27 = {3}^{3}$, ist das Produkt ${3}^{2}\cdot {3}^{3}$, also ${3}^{5}$: Beim Multiplizieren von Potenzen werden die Exponenten addiert. Der Logarithmus ist also 5, also 2 plus 3, der Logarithmus von 9 plus der Logarithmus von 27. Das ist die Produktregel:

$$\log_{b}\left(MN\right) = \log_{b}\left(M\right)+\log_{b}\left(N\right)$$

Das gilt aus demselben Grund für alle positiven M und N. Logarithmen sind Exponenten: Wenn M gleich b hoch p und N gleich b hoch q ist, dann ist MN gleich b hoch $p+q$. Der Logarithmus des Produkts ist also die Summe der Logarithmen.

Die Regel ist besonders nützlich, wenn ein Faktor eine Variable ist. Für positives x wird $\log_{3}\left(9x\right)$ zu $\log_{3}\left(9\right)+\log_{3}\left(x\right)$, und $\log_{3}\left(9\right)$ ist 2, also ist es $2+\log_{3}\left(x\right)$.