Die Potenzregel

Betrachte $\log_{2}\left(8^{2}\right)$. Da $8 = {2}^{3}$, ist die Potenz ${\left({2}^{3}\right)}^{2}$, also ${2}^{6}$: Bei einer Potenz einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. Der Logarithmus ist also 6, das ist 2 mal 3, also der Exponent mal dem Logarithmus von 8. Das ist die Potenzregel:

$$\log_{b}\left(M^{k}\right) = k\log_{b}\left(M\right)$$

Es gilt für positives M, und der Exponent wird vor den Logarithmus gezogen. Der Grund: Wenn M gleich b hoch p ist, dann ist M hoch k gleich b hoch kp. Du kannst es auch als wiederholte Produktregel sehen: $\log_{b}\left(M^{3}\right)$ ist der Logarithmus von M mal M mal M, also die Summe von drei Logarithmen von M.

Bei einer Variablen musst du auf das Vorzeichen achten. Für x > 0 wird $\log_{3}\left(x^{4}\right)$ zu $4\log_{3}\left(x\right)$. Bei x = -1 ist die linke Seite $\log_{3}\left(1\right)$, was 0 ist, aber $\log_{3}\left(-1\right)$ hat keinen Wert, daher muss x positiv sein. Die Regel gilt für jede Basis, auch für die Basis 10.