Die Potenzregel

Betrachte log_2(8^2). Da 8 = 2^3, ist die Potenz (2^3)^2, also 2^6: Bei einer Potenz einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. Der Logarithmus ist also 6, das ist 2 mal 3, also der Exponent mal dem Logarithmus von 8. Das ist die Potenzregel:

log_b(M^k) = k log_b(M)

Es gilt für positives M, und der Exponent wird vor den Logarithmus gezogen. Der Grund: Wenn M gleich b hoch p ist, dann ist M hoch k gleich b hoch kp. Du kannst es auch als wiederholte Produktregel sehen: log_b(M^3) ist der Logarithmus von M mal M mal M, also die Summe von drei Logarithmen von M.

Bei einer Variablen musst du auf das Vorzeichen achten. Für x > 0 wird log_3(x^4) zu 4log_3(x). Bei x = -1 ist die linke Seite log_3(1), was 0 ist, aber log_3(-1) hat keinen Wert, daher muss x positiv sein. Die Regel gilt für jede Basis, auch für die Basis 10.