Unendliche Summen

Halbiere einen Kuchen, halbiere dann den Rest und fahre damit fort. Die Stücke sind 1/2, 1/4, 1/8, ... des Kuchens, und sie können zusammen nie mehr als den ganzen Kuchen ergeben. Eine Summe, die unendlich lange weitergeht, kann einen endlichen Wert haben.

Betrachte die Summenformel $S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$. Wenn r zwischen -1 und 1 liegt, nähert sich ${r}^{n}$ mit wachsendem n immer weiter der 0: ${\frac{1}{2}}^{10}$ ist bereits kleiner als ein Tausendstel. Bei einer unendlichen Summe fällt also ${r}^{n}$ weg und

$$S = \frac{a\left(1\right)}{1-r}$$

Bei $10+5+\frac{5}{2}+...$ beträgt das Verhältnis 1/2, also ist $S = \frac{10}{1-\frac{1}{2}}$ gleich 20. Wenn r gleich 1 oder größer oder -1 oder kleiner ist, werden die Glieder nie kleiner, und die Summe hat keinen endlichen Wert.