Unendliche Summen

Halbiere einen Kuchen, halbiere dann den Rest und fahre damit fort. Die Stücke sind 1/2, 1/4, 1/8, ... des Kuchens, und sie können zusammen nie mehr als den ganzen Kuchen ergeben. Eine Summe, die unendlich lange weitergeht, kann einen endlichen Wert haben.

Betrachte die Summenformel S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r). Wenn r zwischen -1 und 1 liegt, nähert sich r^n mit wachsendem n immer weiter der 0: (1/2)^10 ist bereits kleiner als ein Tausendstel. Bei einer unendlichen Summe fällt also r^n weg und

S = a(1)/(1 - r)

Bei 10 + 5 + 5/2 + ... beträgt das Verhältnis 1/2, also ist S = 10/(1 - 1/2) gleich 20. Wenn r gleich 1 oder größer oder -1 oder kleiner ist, werden die Glieder nie kleiner, und die Summe hat keinen endlichen Wert.