Geometrische Summen

Teil des Abschnitts Exponentialfunktionen, Logarithmen und Folgen der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 42 von 49.

Addiere 1 + 4 + 16 + 64 mit einem Trick. Nenne die Summe S und multipliziere dann jeden Term mit dem Verhältnis 4: 4S = 4 + 16 + 64 + 256. Die beiden Listen haben 4, 16 und 64 gemeinsam. Wenn du also S von 4S abziehst, heben sie sich auf: 4S - S = 256 - 1. Das ergibt 3S = 255, also ist S gleich 85.

Dieselbe Subtraktion funktioniert für jede geometrische Folge und ergibt die Summe ihrer ersten n Glieder:

S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r)

Hier zählt n die Glieder, daher lautet der Exponent r^n und nicht r^(n - 1). Überprüfe es: 1 × (1 - 4^4)/(1 - 4) ergibt -255 geteilt durch -3, also 85. Die Formel funktioniert nur dann nicht, wenn r gleich 1 ist, denn dann ist ihr Nenner 0; in diesem Fall ist jedes Glied gleich und die Summe ist n mal das erste Glied.

Aufgabe

Eine geometrische Folge beginnt mit 5, 15, 45, ... Finde die Summe S ihrer ersten 4 Glieder. Schreibe auf die leere Tafel eine Zeile S = ... mit eingesetzter Formel und anschließend eine Zeile mit dem Wert.