Die Glieder addieren

Addiere die 10 Glieder 2, 5, 8, ..., 29. Ordne das erste dem letzten zu: 2 plus 29 ergibt 31. Ordne das zweite dem vorletzten zu: 5 plus 26 ergibt ebenfalls 31. Jedes Paar ergibt 31, denn eine Zahl steigt um genau 3, während ihr Partner um genau 3 sinkt. Zehn Glieder ergeben 5 Paare, also ist die Summe $5\cdot 31$, also 155.

Für jede arithmetische Folge mit n Gliedern geschrieben, sind das $\frac{n}{2}$ Paare, die jeweils so viel wie das erste plus das letzte Glied ergeben. Bei einem ungeraden n ist das mittlere Glied ein halbes Paar, und die Rechnung geht weiterhin auf:

$$S = \frac{n}{2}\cdot \left(a\left(1\right)+a\left(n\right)\right)$$

Der Überlieferung nach addierte der junge Carl Friedrich Gauss auf diese Weise in wenigen Augenblicken die Zahlen von 1 bis 100.