Logarithmen von Brüchen

Eine negative Potenz ergibt einen Bruch: ${2}^{-4} = \frac{1}{{2}^{4}}$, also $\frac{1}{16}$. Rückwärts gelesen bedeutet das: $\log_{2}\left(\frac{1}{16}\right) = -4$. Wenn die Eingabe 1 geteilt durch eine Potenz der Basis ist, ist der Logarithmus das Negative dieses Exponenten.

Hier erfährst du, warum die Antwort negativ sein muss. Bei der Basis 2 ergeben positive Potenzen Zahlen größer als 1, und die Potenz 0 ergibt genau 1. Um einen Wert kleiner als 1 zu erhalten, brauchst du eine Potenz kleiner als 0. Daher hat bei jeder Basis größer als 1 eine Eingabe zwischen 0 und 1 einen negativen Logarithmus.

Dezimalzahlen funktionieren genauso: $0.001$ ist $\frac{1}{1000}$, was ${10}^{-3}$ entspricht, also $\log\left(0.001\right) = -3$. Halte die beiden Ideen auseinander: Der Eingabewert eines Logarithmus muss positiv sein, aber das Ergebnis kann negativ sein.