Kreuzprodukte

Bei einer Proportion $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ multiplizierst du über das Gleichheitszeichen hinweg: den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den linken Nenner mit dem rechten Zähler. Diese Kreuzprodukte sind immer gleich: $a\cdot d = b\cdot c$. Bei $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ sind die Kreuzprodukte 3 · 12 und 4 · 9, und beide ergeben 36.

Warum funktioniert das? Gib beiden Brüchen denselben Nenner, 4 · 12 = 48. Dann ist $\frac{3}{4}$ 36 über 48 und $\frac{9}{12}$ ebenfalls 36 über 48. Die neuen Zähler sind genau die Kreuzprodukte, 3 · 12 und 9 · 4. Gleiche Brüche mit demselben Nenner müssen denselben Zähler haben, also stimmen die Kreuzprodukte überein.

Das macht Kreuzprodukte zu einem schnellen Test dafür, ob zwei Verhältnisse gleich sind, ohne sie zu kürzen. Sind $\frac{4}{6}$ und $\frac{10}{15}$ gleich? 4 · 15 ist 60 und 6 · 10 ist 60, also ja. Sind $\frac{3}{4}$ und $\frac{5}{7}$ gleich? 3 · 7 ist 21, aber 4 · 5 ist 20, also nein.