Un cercle et une droite

La même méthode fonctionne pour les courbes qui ne sont pas des paraboles. Prenons ${x}^{2}+{y}^{2} = 25$. D’après le théorème de Pythagore, un point (x, y) se trouve à une distance de 5 de l’origine exactement lorsque cette équation est vérifiée ; son graphe est donc le cercle de rayon 5 centré en (0, 0). Le nombre à droite est le carré du rayon.

Pour trouver ses intersections avec la droite $y = x+1$, substituons l’équation de la droite dans celle du cercle : ${x}^{2}+{\left(x+1\right)}^{2} = 25$. Développons la parenthèse : ${x}^{2}+{x}^{2}+2x+1 = 25$, puis regroupons les termes et faisons passer le 25 de l’autre côté : $2{x}^{2}+2x-24 = 0$. Divisons par 2 et factorisons : $\left(x+4\right)\left(x-3\right) = 0$, donc x vaut -4 ou 3.

Trouve chaque y sur la droite : x = 3 donne y = 4, et x = -4 donne y = -3. Les points d’intersection sont (3, 4) et (-4, -3), et les deux vérifient l’équation du cercle, puisque 9 + 16 et 16 + 9 font 25. Remplace les valeurs dans l’équation du cercle, et non l’inverse : seule la droite indique la valeur de y.