Puissances de i

Multiplie i par lui-même encore et encore. i^1 = i et i^2 = -1. Ensuite, i^3 = i^2 × i = -i, et i^4 = i^2 × i^2, ce qui donne -1 multiplié par -1, donc 1. Un facteur de plus et le cycle recommence : i^5 = i^4 × i = i. Les puissances parcourent indéfiniment un cycle de quatre valeurs : i, -1, -i, 1.

Donc, pour une grande puissance, divise l’exposant par 4 et garde le reste. Pour i^23 : 23 = 4 × 5 + 3, donc i^23 = (i^4)^5 × i^3, ce qui donne 1 multiplié par -i, soit -i. Un reste de 1 donne i, 2 donne -1, 3 donne -i, et 0 donne 1.

Pourquoi 4 ? Parce que i^4 = 1, et que la multiplication par 1 ne change rien : chaque groupe de quatre i disparaît. C’est pourquoi i^40 = 1 : 40 est égal à 4 fois 10, et il ne reste aucun i.