Puissances de i

Multiplie i par lui-même encore et encore. ${i}^{1} = i$ et ${i}^{2} = -1$. Ensuite, ${i}^{3} = {i}^{2}\cdot i = -i$, et ${i}^{4} = {i}^{2}\cdot {i}^{2}$, ce qui donne -1 multiplié par -1, donc 1. Un facteur de plus et le cycle recommence : ${i}^{5} = {i}^{4}\cdot i = i$. Les puissances parcourent indéfiniment un cycle de quatre valeurs : i, -1, -i, 1.

Donc, pour une grande puissance, divise l’exposant par 4 et garde le reste. Pour ${i}^{23}$ : $23 = 4\cdot 5+3$, donc ${i}^{23} = {\left({i}^{4}\right)}^{5}\cdot {i}^{3}$, ce qui donne 1 multiplié par -i, soit -i. Un reste de 1 donne i, 2 donne -1, 3 donne -i, et 0 donne 1.

Pourquoi 4 ? Parce que ${i}^{4} = 1$, et que la multiplication par 1 ne change rien : chaque groupe de quatre i disparaît. C’est pourquoi ${i}^{40} = 1$ : 40 est égal à 4 fois 10, et il ne reste aucun i.