Le conjugué

Le conjugué de $a+bi$ est $a-bi$ : la même partie réelle, avec le signe de la partie imaginaire inversé. Le conjugué de $2+7i$ est $2-7i$, et le conjugué de $6-i$ est $6+i$.

Multipliez un nombre par son conjugué : $\left(2+7i\right)\left(2-7i\right) = 4-14i+14i-49{i}^{2}$. Les deux termes en i sont opposés et s’annulent, et $-49{i}^{2}$ vaut +49. Le résultat est 4 + 49, soit 53, un nombre réel.

Pour des nombres réels a et b, cela se produit toujours : $\left(a+bi\right)\left(a-bi\right) = {a}^{2}+{b}^{2}$. Comparez avec $\left(a+b\right)\left(a-b\right) = {a}^{2}-{b}^{2}$ en algèbre : le signe moins devient un signe plus parce que ${i}^{2} = -1$. C’est l’outil qui sera utilisé dans la leçon suivante, car la multiplication par le conjugué transforme un nombre complexe en nombre réel.