Des carrés égaux à des nombres négatifs

En algèbre, x^2 = -9 n’avait pas de solution, car aucun nombre réel élevé au carré ne donne -9. Avec i, il y en a deux. Partons de x^2 + 9 = 0 : faisons passer le 9 de l’autre côté pour obtenir x^2 = -9, puis prenons la racine carrée des deux côtés : x = 3i ou x = -3i.

Pourquoi deux ? (3i)^2 et (-3i)^2 sont tous deux égaux à 9i^2, qui vaut -9, tout comme 3 et -3 élevés au carré donnent 9. La racine carrée des deux côtés fait toujours apparaître le ±.

Les deux solutions sont conjuguées l’une de l’autre, et ce n’est pas un hasard : lorsqu’une équation du second degré à coefficients réels a, b et c admet une solution faisant intervenir i, la solution conjuguée est l’autre solution.