Des carrés égaux à des nombres négatifs

En algèbre, ${x}^{2} = -9$ n’avait pas de solution, car aucun nombre réel élevé au carré ne donne -9. Avec i, il y en a deux. Partons de ${x}^{2}+9 = 0$ : faisons passer le 9 de l’autre côté pour obtenir ${x}^{2} = -9$, puis prenons la racine carrée des deux côtés : $x = 3i$ ou $x = -3i$.

Pourquoi deux ? ${\left(3i\right)}^{2}$ et ${\left(-3i\right)}^{2}$ sont tous deux égaux à $9{i}^{2}$, qui vaut -9, tout comme 3 et -3 élevés au carré donnent 9. La racine carrée des deux côtés fait toujours apparaître le ±.

Les deux solutions sont conjuguées l’une de l’autre, et ce n’est pas un hasard : lorsqu’une équation du second degré à coefficients réels a, b et c admet une solution faisant intervenir i, la solution conjuguée est l’autre solution.