La formule devient complexe

Lorsque ${b}^{2}-4ac$ est négatif, la racine carrée dans la formule quadratique porte sur un nombre négatif. En algèbre, cela signifiait qu’il n’y avait pas de solution réelle ; maintenant, cela signifie qu’il y a deux solutions complexes. Prenons ${x}^{2}-6x+34 = 0$ : a vaut 1, b vaut -6, c vaut 34, et ${b}^{2}-4ac$ vaut $36-136$, soit -100.

Donc $x = \frac{6\pm\sqrt{-100}}{2}$, et $\sqrt{-100}$ vaut 10i, ce qui donne $x = \frac{6\pm10i}{2}$. Divise les deux termes du numérateur par 2 : $x = 3\pm5i$. Sépare le ± : $x = 3+5i$ ou $x = 3-5i$.

Lorsque a, b et c sont réels, les deux racines vont toujours par paire conjuguée : la partie réelle, b divisé par 2a avec le signe inversé, est commune, et le signe ± se trouve uniquement devant le terme en i.