La plus grande aire

Vous avez 40 mètres de clôture pour entourer complètement un rectangle. Si la largeur est w, les deux largeurs et les deux longueurs totalisent 40, donc une largeur et une longueur totalisent 20. La longueur est 20 - w, et l’aire est A(w) = w(20 - w).

Quelle largeur offre le plus d’espace ? En développant, A(w) = -w^2 + 20w : une parabole ouverte vers le bas, donc son sommet correspond à l’aire maximale. Ses racines sont w = 0 et w = 20, où le rectangle est plat et n’a aucune aire. Le sommet se trouve à mi-chemin entre les deux, en w = 10, et A(10) = 10(10), ce qui correspond à 100 mètres carrés.

Le meilleur rectangle est un carré de 10 sur 10. Ce n’est pas un hasard : pour une longueur de clôture fixe, un carré délimite toujours la plus grande aire parmi tous les rectangles.