Découvrir i

Essaie de résoudre ${x}^{2} = -1$. Un nombre positif multiplié par lui-même est positif, un nombre négatif multiplié par lui-même est également positif, et 0 au carré vaut 0. Aucun nombre réel n’a un carré négatif : cette équation n’a donc pas de solution sur la droite numérique.

Les mathématiciens ont répondu en introduisant un nouveau nombre. L’unité imaginaire i est définie par une règle : ${i}^{2} = -1$. Ainsi, i est une racine carrée de -1, et $\sqrt{-1} = i$. Il ne se trouve pas du tout sur la droite numérique. Descartes a qualifié de « imaginaires » ces nombres en 1637, et ce n’était pas un compliment.

En algèbre, i se comporte comme une lettre avec une règle supplémentaire : chaque fois que ${i}^{2}$ apparaît, remplace-le par -1. Ainsi, $3i+2i = 5i$, tout comme 3x et 2x donnent 5x. Et -1 a deux racines carrées, i et -i, car ${\left(-i\right)}^{2}$ vaut aussi -1, tout comme 9 a deux racines carrées, 3 et -3.