Aucune intersection

Certaines droites ne croisent pas du tout la parabole. Prenons $y = {x}^{2}+3$ et $y = 2x$. En substituant, on obtient ${x}^{2}+3 = 2x$, donc ${x}^{2}-2x+3 = 0$.

Son discriminant est ${\left(-2\right)}^{2}-4\cdot 1\cdot 3$, soit $4-12$, ou -8. Il est négatif, donc l’équation quadratique n’a pas de solutions réelles, seulement une paire de solutions complexes. Un point d’intersection doit se trouver sur le graphique, avec des coordonnées réelles : il n’y en a donc pas. Le système n’a aucune solution. La droite passe sous la parabole sans la toucher, et les racines complexes n’ont pas d’importance ici, car la question portait sur les points du plan.