Por que os expoentes se multiplicam

Os expoentes são multiplicados porque a regra do produto é aplicada a cópias idênticas. $\left(x^{2}\right)^{4}$ corresponde a quatro cópias de $x^{2}$ multiplicadas entre si: $x^{2}x^{2}x^{2}x^{2}$. As quatro cópias têm a mesma base, então a regra do produto soma os expoentes: $2+2+2+2 = 8$. Somar o mesmo número quatro vezes é o mesmo que multiplicá-lo por 4, o que corresponde a $2\cdot 4$.

Assim, a regra da potência de uma potência vem da regra do produto. Você aplica a regra do produto a cópias idênticas de uma potência, e a adição repetida se transforma em uma multiplicação.

O resultado é $\left(x^{2}\right)^{4} = x^{8}$. O mesmo raciocínio funciona para quaisquer expoentes. Se cada cópia contiver $m$ fatores e houver $n$ cópias, haverá $mn$ fatores ao todo.