Por Que os Expoentes Subtraem

Os expoentes são subtraídos porque os fatores se cancelam em pares. Para ver isso, escreva $\frac{x^{6}}{x^{2}}$ por extenso: seis fatores de $x$ em cima e dois fatores de $x$ embaixo. A fração $\frac{x}{x}$ é igual a 1 sempre que $x$ não é zero. Portanto, cada fator de baixo forma um par com um fator de cima, e o par se torna um fator de 1. Multiplicar por 1 não altera o produto.

Dois pares se cancelam, e quatro fatores de $x$ permanecem em cima, então $\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{4}$. A subtração $6-2$ não subtrai os valores das potências. Ela conta os fatores que permanecem depois do pareamento.

O mesmo emparelhamento explica dois casos que você encontrará mais adiante. Um deles ocorre quando o numerador e o denominador têm o mesmo número de fatores. O outro ocorre quando o denominador tem mais fatores do que o numerador. Ambos aparecem no capítulo sobre expoentes zero e negativos.