Ela Sempre Funciona

A equação quadrática $x^{2}+3x+1 = 0$ não pode ser fatorada usando números inteiros. Nenhum par de números inteiros tem produto igual a 1 e soma igual a 3. A fórmula quadrática ainda funciona. Ela fornece $x = \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$.

O discriminante é 5, que não é um quadrado perfeito. Portanto, a raiz quadrada permanece como $\sqrt{5}$, assim como no capítulo sobre raízes quadradas. As duas soluções são números exatos, e a fórmula as encontrou mesmo que a fatoração não tenha sido possível.

A fórmula quadrática funciona mesmo quando uma equação quadrática não pode ser fatorada usando números inteiros. Quando os coeficientes são números inteiros, um discriminante que é um quadrado perfeito resulta em soluções que são números inteiros ou frações. Um discriminante positivo que não é um quadrado perfeito resulta em soluções com um símbolo de raiz quadrada. Completar o quadrado é outra maneira de encontrar as mesmas soluções.