PPCM à partir des facteurs premiers

Les nombres premiers permettent aussi de trouver le PPCM. Décompose les deux nombres en facteurs premiers : 20 est 2^2 × 5 et 30 est 2 × 3 × 5. Un multiple de 20 doit contenir deux 2 et un 5, et un multiple de 30 doit contenir un 2, un 3 et un 5. Le plus petit nombre qui contient tout cela prend chaque nombre premier autant de fois que le nombre qui en a le plus besoin.

Il faut donc deux 2, un 3 et un 5 : 2^2 × 3 × 5 vaut 60. Le PPCM de 20 et 30 est donc 60. Vérifie : 60 / 20 vaut 3 et 60 / 30 vaut 2.

Compare-le au PGCD. Le PGCD ne garde que les facteurs premiers communs, chacun avec son exposant le plus petit. Le PPCM garde tous les facteurs premiers présents, chacun avec son exposant le plus grand. L’un se limite à ce que les deux ont ; l’autre se construit à partir de ce dont l’un ou l’autre a besoin.