Zwei Dreiecke, eine Höhe

Teil des Abschnitts Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck der Trigonometry-Journey von Coddy. Lektion 38 von 50.

Bei manchen Aufgaben werden zwei rechtwinklige Dreiecke benötigt, die eine Seite gemeinsam haben. Ein Turm steht zwischen zwei Beobachtern auf ebenem Boden. Von P aus, 40 m vom Fußpunkt entfernt, liegt die Spitze in einem Winkel von 50° über dem Horizont. Von Q aus, auf der anderen Seite, liegt die Spitze in einem Winkel von 30° über dem Horizont. Wie weit ist Q vom Turm entfernt?

$Ein Turm der Höhe h zwischen P, 40 m entfernt bei 50°, und Q, x entfernt bei 30°$

Keines der beiden Dreiecke allein beantwortet die Frage. Das linke liefert die Höhe: tan(50°) = h/40, also h = 40tan(50°). Das rechte verknüpft die Höhe mit x: tan(30°) = h/x. Setze den ersten Ausdruck in den zweiten ein, dann ist x die einzige Unbekannte: x = 40tan(50°)/tan(30°), also ungefähr 82.57 m, und h beträgt ungefähr 47.67 m.

Behalte h exakt bei, während du es überträgst. Jeder Fehler in h wird durch tan 30° geteilt, das kleiner als 1 ist, und dadurch vergrößert; übernimm den exakten Wert und runde nur einmal, am Ende.

Aufgabe

Ein Baum steht auf ebenem Boden zwischen zwei Personen. P ist 30 m vom Fuß des Baumes entfernt und sieht die Spitze unter einem Winkel von 40°. Q sieht die Spitze von der anderen Seite aus unter einem Winkel von 25°. Berechne die Höhe h des Baumes und den Abstand x von Q zum Baum, jeweils auf zwei Dezimalstellen genau. Drücke dann auf Prüfen.

Probier es selbst

$Finde x,h mit Hilfe der Figur$