1 + tan²x = sec²x
Teil des Abschnitts Trigonometrische Identitäten der Trigonometry-Journey von Coddy. Lektion 10 von 52.
Teile jeden Term von sin(x)² + cos(x)² = 1 durch cos(x)². Der erste Term wird zu tan(x)², der zweite zu 1 und die rechte Seite zu 1/cos(x)², was sec(x)² entspricht:
1 + tan(x)² = sec(x)²
Sie gilt überall dort, wo cos x nicht 0 ist – also an denselben Stellen, an denen tan und sec definiert sind. Rückwärts gelesen heißt es sec(x)² - 1 = tan(x)², und diese Form ermöglicht am häufigsten Kürzungen.
Betrachte (sec(x)² - 1)/tan(x). Der Zähler ist tan(x)², also lautet der Bruch tan(x)²/tan(x). Ein tan x kürzt sich heraus und tan(x) bleibt übrig, genauso wie a²/a gleich a ist.
Aufgabe
Zeige, dass sec(x)² - tan(x)² gleich 1 ist: Forme den Ausdruck um, bis auf der Tafel 1 steht. Drücke dann auf Prüfen.
Probier es selbst
Vereinfache den Ausdruck
Teste dich selbstDiese Lektion enthält ein kurzes Quiz. Starte die Lektion, um es zu beantworten und deinen Fortschritt zu speichern.
Alle Lektionen in Trigonometrische Identitäten
1Identitäten am Kreis
sin²x + cos²x = 1Quadrieren löscht die VorzeichenIdentität oder Gleichung?Wiederholung: die Kreisidentität4Gerade, ungerade Funktionen und Kofunktionen
Negative WinkelGerade und ungerade Funktionen in einem BeweisGraphen gerader und ungerader FunktionenKofunktionenRückblick: Vorzeichen von Winkeln2Kehrwert und Quotient
Die QuotientenidentitätSekans, Kosekans, KotangensDurch einen Bruch teilenWo sie nicht definiert sindRückblick: Kehrwerte5Identitäten beweisen
Nur eine Seite bearbeitenIn Sinus und Kosinus umschreibenZuerst faktorisierenZu einem Bruch zusammenfassenFehlerhafte BeweiseRückblick: Beweise es8Halbwinkel und Potenzreduktion
Potenzreduktionsin²x ist eine WelleHalbwinkelwertetan eines HalbwinkelsRückblick: Halbwinkel3Pythagoreische Identitäten
1 + tan²x = sec²x1 + cot²x = csc²xEine Differenz von QuadratenDas Quadrieren einer SummeRückblick: Drei Formen