1 + tan²x = sec²x

Teile jeden Term von ${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ durch ${\cos\left(x\right)}^{2}$. Dann ist $\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ gleich ${\tan\left(x\right)}^{2}$, $\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ ist gleich 1 und $\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ ist gleich ${\sec\left(x\right)}^{2}$. Das ergibt eine zweite Identität.

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

Sie gilt überall dort, wo cos x nicht 0 ist. Ziehe auf beiden Seiten 1 ab: ${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$. Also ist $\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$ gleich $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$, also tan x.