Halbwinkelwerte

Setze x/2 anstelle von x in die Formeln zur Potenzreduzierung ein, und sie liefern dir die Werte für einen halben Winkel, den du kennst:

$${\sin\left(\frac{x}{2}\right)}^{2} = \frac{1-\cos\left(x\right)}{2}$$

$${\cos\left(\frac{x}{2}\right)}^{2} = \frac{1+\cos\left(x\right)}{2}$$

15° ist die Hälfte von 30°. Also ${\sin\left(15^{\circ}\right)}^{2} = \frac{1-\cos\left(30^{\circ}\right)}{2} = \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$. Ziehe die Hälfte aus dem Zähler heraus: $\frac{\frac{1}{2}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}$, also $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$.

Die Formel ergibt das Quadrat. Um sin 15° selbst zu erhalten, ziehe die Quadratwurzel und wähle das Vorzeichen anhand des Quadranten: 15° liegt im Quadranten I, also ist die Wurzel positiv: $\sin\left(15^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$.