sin 2x = 2 sin x cos x

Setze B = A in die Summenformel ein: $\sin\left(A+A\right) = \sin\left(A\right)\cos\left(A\right)+\cos\left(A\right)\sin\left(A\right)$. Die beiden Produkte sind gleich, also

$$\sin\left(2x\right) = 2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)$$

Eine Verdopplung des Winkels verdoppelt nicht den Sinus: Bei 30° ist $\sin\left(60^{\circ}\right)$ etwa 0,87 und nicht $2\sin\left(30^{\circ}\right) = 1$. Die 2 kommt nur zusammen mit cos x heraus.

Betrachte $\frac{\sin\left(2x\right)}{\cos\left(x\right)}$. Schreibe den Zähler als $2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)$; der Nenner cos x ist jetzt ein Faktor des Zählers und kürzt sich heraus. Übrig bleibt $2\sin\left(x\right)$, sofern cos x nicht 0 ist.