tan(A + B) und tan(A - B)

Teile sin(A + B) durch cos(A + B) und teile dann Zähler und Nenner durch cos A cos B; so ergeben sich die Tangensformeln ausschließlich mit Tangens:

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

Damit tan A und tan B existieren (keiner der Winkel ist 90° plus eine ganze Anzahl halber Umdrehungen) und der Nenner nicht 0 ist. Im Zähler richtet sich das Vorzeichen nach dem Winkel; im Nenner ist es das entgegengesetzte. Für 75° als 45° + 30°, mit tan 45° = 1 und $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

Eine Wurzel im Nenner wird beseitigt, indem Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck multipliziert werden, hier 3 + √3: Der Nenner wird zu 9 - 3 = 6, der Zähler ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$, und $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.