tan(A + B) und tan(A - B)

Teil des Abschnitts Trigonometrische Identitäten der Trigonometry-Journey von Coddy. Lektion 30 von 52.

Teile sin(A + B) durch cos(A + B) und teile dann Zähler und Nenner durch cos A cos B; so ergeben sich die Tangensformeln ausschließlich mit Tangens:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))

tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))

Damit tan A und tan B existieren (keiner der Winkel ist 90° plus eine ganze Anzahl halber Umdrehungen) und der Nenner nicht 0 ist. Im Zähler richtet sich das Vorzeichen nach dem Winkel; im Nenner ist es das entgegengesetzte. Für 75° als 45° + 30°, mit tan 45° = 1 und tan(30°) = √(3)/3:

tan(75°) = (1 + √(3)/3)/(1 - √(3)/3) = (3 + √(3))/(3 - √(3))

Eine Wurzel im Nenner wird beseitigt, indem Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck multipliziert werden, hier 3 + √3: Der Nenner wird zu 9 - 3 = 6, der Zähler (3 + √(3))² = 12 + 6√(3), und tan(75°) = 2 + √(3).

Aufgabe

Bestimme den exakten Wert von tan(45° + 60°), also tan 105°: Verwende die Formel, rationalisiere den Nenner und vereinfache, bis auf der Tafel eine ganze Zahl und eine Wurzel stehen. Drücke dann Prüfen.

Probier es selbst

tan(45° + 60°)

Vereinfache den Ausdruck