Summen zu Produkten

Teil des Abschnitts Trigonometrische Identitäten der Trigonometry-Journey von Coddy. Lektion 44 von 52.

Lies die Produktformeln rückwärts, mit der halben Summe und der halben Differenz der Winkel, und eine Summe wird zu einem Produkt:

sin(A) + sin(B) = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)

cos(A) + cos(B) = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)

Für sin(5x) + sin(x) ist die Halbsumme 3x und die Halbdifferenz 2x, also ergibt sich 2sin(3x)cos(2x).

So klingen zwei Töne mit nahezu derselben Tonhöhe zusammen. Ihre Summe ist eine schnelle Welle mit der durchschnittlichen Tonhöhe, multipliziert mit einer langsamen Welle mit der halben Tonhöhendifferenz. Die Lautstärke folgt der Größe der langsamen Welle, die in jedem ihrer Zyklen zweimal ihren Höhepunkt erreicht. Deshalb wiederholt sich der hörbare Schwebungston mit der vollen Differenz: Töne mit 440 Hz und 442 Hz schwingen zweimal pro Sekunde.

Aufgabe

In einem einfachen Modell ergeben zwei gleichzeitig gespielte Töne die Welle sin(42t) + sin(38t). Schreibe sie als Produkt aus einem Sinus und einem Kosinus um.

Gib jede nächste Zeile selbst ein; eine Zeile, die nicht der obigen entspricht, wird abgelehnt.

Verwende das Formelfeld und gib dann das Produkt ein, bei dem die halbe Summe und die halbe Differenz ausgerechnet sind. Drücke anschließend Check.

Probier es selbst

sin(42t) + sin(38t)

Vereinfache den Ausdruck