sin(A + B) und sin(A - B)

Der Sinus einer Summe ist nicht die Summe der Sinuswerte. Bei 30° und 30° beträgt $\sin\left(60^{\circ}\right)$ ungefähr 0.87, während $\sin\left(30^{\circ}\right)+\sin\left(30^{\circ}\right)$ gleich 1 ist. Die tatsächlichen Formeln kombinieren Sinus und Kosinus:

$$\sin\left(A+B\right) = \sin\left(A\right)\cos\left(B\right)+\cos\left(A\right)\sin\left(B\right)$$

$$\sin\left(A-B\right) = \sin\left(A\right)\cos\left(B\right)-\cos\left(A\right)\sin\left(B\right)$$

Sie liefern exakte Werte für Winkel, die mit den besonderen Dreiecken nicht erreicht werden. 75° ist 45° + 30°:

$$\sin\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$$

das ergibt $\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$, also $\sin\left(75^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, ungefähr 0.966. Das Vorzeichen in der Mitte richtet sich nach dem Vorzeichen im Winkel.