sin(A + B) und sin(A - B)

Teil des Abschnitts Trigonometrische Identitäten der Trigonometry-Journey von Coddy. Lektion 26 von 52.

Der Sinus einer Summe ist nicht die Summe der Sinuswerte. Bei 30° und 30° beträgt sin(60°) ungefähr 0.87, während sin(30°) + sin(30°) gleich 1 ist. Die tatsächlichen Formeln kombinieren Sinus und Kosinus:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Sie liefern exakte Werte für Winkel, die mit den besonderen Dreiecken nicht erreicht werden. 75° ist 45° + 30°:

sin(45° + 30°) = (√(2)/2) · (√(3)/2) + (√(2)/2) · (1/2)

das ergibt √(6)/4 + √(2)/4, also sin(75°) = (√(6) + √(2))/4, ungefähr 0.966. Das Vorzeichen in der Mitte richtet sich nach dem Vorzeichen im Winkel.

Aufgabe

Finde den exakten Wert von sin(15°).

Auf diesem Board schreibt der Formel-Chip die Werte unausgerechnet hin; gib jede nächste Zeile selbst in das Feld ein, und eine Zeile, die nicht der darüberstehenden entspricht, wird abgelehnt.

Gib 15° als Differenz zweier besonderer Winkel ein, verwende den Formel-Chip, gib die Zeile mit den eingesetzten exakten Werten ein und forme sie dann zu einem einzigen Bruch um. Drücke anschließend Check.

Probier es selbst

sin(15°)

Vereinfache den Ausdruck