La vitesse comme taux de variation
Fait partie de la section Fonctions et transformations du Journey Algebra 2 de Coddy. Leçon 47 sur 58.
Lance une balle verticalement vers le haut. Sa hauteur en mètres après t secondes est h(t) = 30t - 5t^2. Après 1 seconde, elle se trouve à 25 mètres de hauteur, et après 2 secondes, à 40 mètres. Au cours de cette seconde, sa hauteur a augmenté de 15 mètres : sa vitesse moyenne était donc de 15 mètres par seconde.
La vitesse moyenne est le taux de variation moyen de la hauteur : la variation de hauteur divisée par la variation de temps, (h(2) - h(1))/(2 - 1). Des mètres au numérateur et des secondes au dénominateur donnent des mètres par seconde. Le signe indique la direction. De t = 4 à t = 5, la hauteur passe de 40 à 25 : la vitesse moyenne est donc de -15 mètres par seconde. Le signe négatif signifie que la balle a terminé plus bas.
La vitesse vectorielle n’est pas la vitesse. De t = 2 à t = 4, la hauteur passe de 40 à 40, donc la vitesse vectorielle moyenne est de 0, mais la balle n’est pas restée immobile : elle est montée à 45 mètres à t = 3, puis est redescendue. Elle a parcouru 10 mètres en 2 secondes, soit une vitesse moyenne de 5 mètres par seconde. La vitesse vectorielle compare uniquement la position de départ et la position d’arrivée de la balle ; la vitesse compte chaque mètre parcouru et n’est jamais négative.
Défi
Une balle est lancée vers le haut, et sa hauteur en mètres après t secondes est h(t) = 40t - 5t^2. Trouve sa vitesse moyenne de t = 1 à t = 3. Applique la règle aux deux appels, puis saisis les calculs ligne par ligne.
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1Les fonctions, revisitées
Découvrir f(x)Entrées et sortiesUne sortie par entréeEntrées négativesRécapitulatif : évaluer4Combiner des fonctions
Addition de fonctionsSoustraction de fonctionsMultiplication de fonctionsEn un seul nombreRécapitulatif : combiner7Déplacements de graphes
De haut en basDe gauche à droiteLe signe à l’intérieurLes deux à la foisDéplacer un VRécapitulatif : les déplacements10Les fonctions dans les récits
Écrire la règleUtiliser la règleRaisonner à reboursAnnuler une conversionRécapitulatif : les récits2Les expressions comme entrées
Une lettre comme entréeUne somme comme entréeDécaler l’entréeRésoudre f(x) = kRécapitulatif : les entrées comme expressions5Composition
L’un dans l’autreL’ordre compteUne fonction d’elle-mêmeComposer des règlesDécomposerRécapitulatif : composition8Étirements et retournements
Plus haut et plus platRetournerRetourner, puis décalerLire la règleRécapitulatif : étirer et retourner3Domaine et image
Qu’est-ce que le domaine ?Pas de division par zéroPas de racines de nombres négatifsL’imageRécapitulatif : le domaine6Fonctions inverses
Annuler une fonctionÉchanger et résoudreFractions dans les fonctions inversesVérifier une fonction inverseUne valeur de la fonction inverseRécapitulatif : fonctions inverses9Taux de variation
Taux de variation moyenUne droite garde son tauxUne courbe change de tauxLa vitesse comme taux de variationRécapitulatif : taux de variation