La vitesse comme taux de variation

Lance une balle verticalement vers le haut. Sa hauteur en mètres après t secondes est $h\left(t\right) = 30t-5{t}^{2}$. Après 1 seconde, elle se trouve à 25 mètres de hauteur, et après 2 secondes, à 40 mètres. Au cours de cette seconde, sa hauteur a augmenté de 15 mètres : sa vitesse moyenne était donc de 15 mètres par seconde.

La vitesse moyenne est le taux de variation moyen de la hauteur : la variation de hauteur divisée par la variation de temps, $\frac{h\left(2\right)-h\left(1\right)}{2-1}$. Des mètres au numérateur et des secondes au dénominateur donnent des mètres par seconde. Le signe indique la direction. De t = 4 à t = 5, la hauteur passe de 40 à 25 : la vitesse moyenne est donc de -15 mètres par seconde. Le signe négatif signifie que la balle a terminé plus bas.

La vitesse vectorielle n’est pas la vitesse. De t = 2 à t = 4, la hauteur passe de 40 à 40, donc la vitesse vectorielle moyenne est de 0, mais la balle n’est pas restée immobile : elle est montée à 45 mètres à t = 3, puis est redescendue. Elle a parcouru 10 mètres en 2 secondes, soit une vitesse moyenne de 5 mètres par seconde. La vitesse vectorielle compare uniquement la position de départ et la position d’arrivée de la balle ; la vitesse compte chaque mètre parcouru et n’est jamais négative.