Une réponse erronée

Résolvez (x + 1)/(x - 1) = 2/(x - 1) + 4. Multipliez les deux membres par x - 1 pour obtenir x + 1 = 2 + 4(x - 1). Développez : x + 1 = 4x - 2, donc 3x vaut 3 et x vaut 1. Remplacez maintenant x par 1 dans l’équation initiale : x - 1 vaut 0, et vous ne pouvez pas diviser par 0. x = 1 n’est pas du tout une solution.

D’où cela vient-il ? Pour x = 1, multiplier par x - 1 revenait à multiplier les deux membres par 0, ce qui rend égaux deux membres quelconques. La nouvelle équation possède donc une solution que l’équation initiale n’a jamais eue. Une telle réponse est dite extraneous : une réponse fausse produite par les calculs et refusée par l’équation initiale.

En écartant x = 1 et puisqu’il ne reste rien d’autre, cette équation n’a aucune solution. C’est une réponse correcte et complète, pas un échec.