Résoudre par regroupement

Lorsqu’un polynôme du troisième degré comporte quatre termes et qu’aucun facteur n’est commun à tous, essaie le regroupement. Prenons x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0. Les deux premiers termes ont x^2 en facteur commun et les deux derniers ont -9 en facteur commun, donc le membre de gauche est x^2(x - 3) - 9(x - 3). Maintenant, x - 3 est un facteur commun : (x - 3)(x^2 - 9) = 0. Le crochet x^2 - 9 est une différence de carrés, donc l’équation entière est (x - 3)(x + 3)(x - 3) = 0.

En séparant les cas, on obtient 3, puis -3, puis 3 à nouveau. Le facteur x - 3 apparaît deux fois, donc 3 est une racine multiple. Dans la réponse, elle ne compte qu’une fois : les solutions sont 3 et -3. Une réponse est un ensemble de nombres, et un ensemble ne contient chaque nombre qu’une seule fois, quel que soit le nombre de facteurs qui y correspondent. Sur un graphique, une racine de multiplicité paire, comme 3 ici, est un point où la courbe touche l’axe des x et repart dans l’autre sens. Une racine de multiplicité impaire correspond à un croisement : (x - 1)^3 croise l’axe en 1.