Résoudre par regroupement

Lorsqu’un polynôme du troisième degré comporte quatre termes et qu’aucun facteur n’est commun à tous, essaie le regroupement. Prenons ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$. Les deux premiers termes ont ${x}^{2}$ en facteur commun et les deux derniers ont -9 en facteur commun, donc le membre de gauche est ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$. Maintenant, x - 3 est un facteur commun : $\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$. Le crochet ${x}^{2}-9$ est une différence de carrés, donc l’équation entière est $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$.

En séparant les cas, on obtient 3, puis -3, puis 3 à nouveau. Le facteur x - 3 apparaît deux fois, donc 3 est une racine multiple. Dans la réponse, elle ne compte qu’une fois : les solutions sont 3 et -3. Une réponse est un ensemble de nombres, et un ensemble ne contient chaque nombre qu’une seule fois, quel que soit le nombre de facteurs qui y correspondent. Sur un graphique, une racine de multiplicité paire, comme 3 ici, est un point où la courbe touche l’axe des x et repart dans l’autre sens. Une racine de multiplicité impaire correspond à un croisement : ${\left(x-1\right)}^{3}$ croise l’axe en 1.