Utiliser un facteur connu

Le théorème du facteur permet de trouver un facteur ; la division euclidienne permet de trouver les autres. Prenons p(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6. Essayons de petits nombres : p(1) vaut 1 - 2 - 5 + 6, soit zéro, donc x - 1 est un facteur.

Effectuons la division : (x^3 - 2x^2 - 5x + 6)/(x - 1) vaut x^2 - x - 6, sans reste. Il reste un polynôme du second degré, que tu sais déjà factoriser : x^2 - x - 6 vaut (x - 3)(x + 2). Donc

x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

Quels nombres faut-il essayer ? Quand p commence par x^3 et que ses coefficients sont des entiers, toute racine entière divise le terme constant, car tous les autres termes contiennent un facteur x. Ici, le terme constant est 6, alors essayez 1, 2, 3 et 6, ainsi que leurs opposés. Une seule réussite suffit : la division transforme le polynôme du troisième degré en un polynôme du second degré.