Un terme dominant négatif

Dans $-{x}^{2}-x+12 > 0$, le terme au carré est précédé d’un signe moins. La factorisation conserve ce signe moins à l’extérieur des parenthèses : $-\left(x+4\right)\left(x-3\right) > 0$. Le signe moins multiplie le produit par -1 ; pour que l’ensemble soit positif, le produit $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ doit donc être négatif.

Le tableau s’inverse donc. Sans le signe moins, ce produit est positif à l’extérieur des racines ; avec lui, l’expression est positive entre elles. Les facteurs doivent avoir des signes opposés : $x+4 > 0$ et $x-3 < 0$ donnent $-4 < x < 3$, et l’autre cas, où x est à la fois inférieur à -4 et supérieur à 3, est impossible.

Le graphique confirme cela. Un terme au carré négatif fait s’ouvrir la parabole vers le bas, donc elle se trouve au-dessus de l’axe des x uniquement entre ses racines. Multiplier d’abord les deux côtés par -1 fonctionne aussi, à condition d’inverser le signe : $\left(x+4\right)\left(x-3\right) < 0$.