Somme de cubes

Une somme de deux cubes se factorise aussi, avec les signes déplacés :

$${a}^{3}+{b}^{3} = \left(a+b\right)\left({a}^{2}-ab+{b}^{2}\right)$$

Compare-la à la différence : la petite parenthèse a le même signe que les cubes, le terme du milieu de la grande parenthèse a le signe opposé, et le dernier terme est toujours positif. Les cubes peuvent avoir un coefficient numérique. Dans $27{x}^{3}+8$, $27{x}^{3}$ est ${\left(3x\right)}^{3}$ et 8 est 2 au cube, donc a = 3x et b = 2. a au carré vaut alors $9{x}^{2}$ et ab vaut 6x :

$$27{x}^{3}+8 = \left(3x+2\right)\left(9{x}^{2}-6x+4\right)$$

Contrairement à une somme de carrés, une somme de cubes possède toujours un facteur linéaire réel : ${a}^{3}+{b}^{3}$ est nul lorsque a = -b, donc $a+b$ est un facteur. Développe pour vérifier : $-18{x}^{2}$ et $18{x}^{2}$ s’annulent, tout comme -12x et 12x.