Simplifier par réduction des facteurs

Une expression rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, comme $\frac{{x}^{2}-25}{{x}^{2}+3x-10}$. On la simplifie comme on simplifie $\frac{6}{9}$ : trouve un facteur commun au numérateur et au dénominateur, puis simplifie par ce facteur. Factorise d’abord les deux. Le numérateur est une différence de carrés, $\left(x+5\right)\left(x-5\right)$, et pour le dénominateur, il faut deux nombres dont le produit est -10 et la somme est 3 : il s’écrit donc $\left(x+5\right)\left(x-2\right)$.

$$\frac{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}$$

x + 5 apparaît dans les deux, et $\frac{x+5}{x+5}$ vaut 1 partout où x + 5 n’est pas égal à 0 ; il se simplifie donc et il reste $\frac{x-5}{x-2}$. Seuls les facteurs se simplifient, jamais les termes. Dans $\frac{x+6}{x+3}$, on pourrait être tenté de barrer les x et d’obtenir $\frac{6}{3}$, ce qui vaut 2. Mais pour x = 3, la fraction vaut $\frac{9}{6}$, soit 3/2. Le x est ici additionné, et non multiplié : ce n’est donc pas un facteur de tout le numérateur ni de tout le dénominateur.

C’est pourquoi on commence par factoriser : cela montre ce qui multiplie l’ensemble. Si aucun facteur n’est commun, la fraction est déjà aussi simple que possible.