Simplifier par réduction des facteurs

Fait partie de la section Polynômes et expressions rationnelles du Journey Algebra 2 de Coddy. Leçon 27 sur 54.

Une expression rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, comme (x^2 - 25)/(x^2 + 3x - 10). On la simplifie comme on simplifie 6/9 : trouve un facteur commun au numérateur et au dénominateur, puis simplifie par ce facteur. Factorise d’abord les deux. Le numérateur est une différence de carrés, (x + 5)(x - 5), et pour le dénominateur, il faut deux nombres dont le produit est -10 et la somme est 3 : il s’écrit donc (x + 5)(x - 2).

((x + 5)(x - 5))/((x + 5)(x - 2))

x + 5 apparaît dans les deux, et (x + 5)/(x + 5) vaut 1 partout où x + 5 n’est pas égal à 0 ; il se simplifie donc et il reste (x - 5)/(x - 2). Seuls les facteurs se simplifient, jamais les termes. Dans (x + 6)/(x + 3), on pourrait être tenté de barrer les x et d’obtenir 6/3, ce qui vaut 2. Mais pour x = 3, la fraction vaut 9/6, soit 3/2. Le x est ici additionné, et non multiplié : ce n’est donc pas un facteur de tout le numérateur ni de tout le dénominateur.

C’est pourquoi on commence par factoriser : cela montre ce qui multiplie l’ensemble. Si aucun facteur n’est commun, la fraction est déjà aussi simple que possible.