Entre les racines

Pour résoudre ${x}^{2}-4x-5 < 0$, factorisez d’abord : $\left(x-5\right)\left(x+1\right) < 0$. La question porte maintenant sur les signes. Le produit de deux nombres est négatif exactement lorsque l’un des facteurs est positif et l’autre négatif : il y a donc deux cas de signes.

Premier cas : $x-5 > 0$ et $x+1 < 0$, donc x est à la fois supérieur à 5 et inférieur à -1. Aucun nombre ne vérifie ces deux conditions, ce cas est donc vide. Deuxième cas : $x-5 < 0$ et $x+1 > 0$, donc x est inférieur à 5 et supérieur à -1. Cela vaut pour tous les nombres compris entre les racines, ce qui s’écrit sous la forme d’une seule chaîne : $-1 < x < 5$.

La réponse est tout un intervalle de la droite numérique, et non une liste de nombres. Vérifie un nombre à l’intérieur : pour x = 0, les facteurs sont -5 et 1, et leur produit est négatif, comme demandé. Les racines elles-mêmes sont exclues, car leur produit y est égal à 0, et non inférieur à 0.