Un trinôme du second degré déguisé

${x}^{4}-5{x}^{2}+4$ est de degré 4, mais regarde ses puissances : ${x}^{4}$ est ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$. Pose u égal à ${x}^{2}$ et on obtient ${u}^{2}-5u+4$, un trinôme du second degré ordinaire, qui se factorise en $\left(u-1\right)\left(u-4\right)$.

Remplace u par ${x}^{2}$ : $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-4\right)$. Les deux parenthèses sont des différences de carrés, alors continue :

$${x}^{4}-5{x}^{2}+4 = \left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)$$

L’astuce fonctionne lorsque les puissances sont ${x}^{4}$, ${x}^{2}$ et un nombre : la puissance la plus élevée est le double de celle du milieu, donc la puissance du milieu joue le rôle de x.