Fonctionnement de la division euclidienne

Tu connais déjà la division posée avec des nombres. Pour diviser 97 par 4, divise 9 par 4 pour obtenir 2, multiplie 2 par 4 pour obtenir 8, soustrais pour obtenir 1, puis abaisse le 7 pour former 17. Répète : 17 divisé par 4 donne 4, 4 fois 4 donne 16, et 17 moins 16 donne 1. Il ne reste rien à abaisser, donc le quotient est 24 et le reste est 1.

Les polynômes se divisent de la même façon, avec des termes à la place des chiffres. Pour diviser x^2 + 3x + 5 par x + 1, divise les termes de plus haut degré : x^2 divisé par x donne x. Multiplie : x(x + 1) donne x^2 + x. Soustrais ce résultat de x^2 + 3x pour obtenir 2x, puis abaisse le 5 pour former 2x + 5. Répète : 2x divisé par x donne 2, 2(x + 1) donne 2x + 2, et la soustraction donne 3.

Arrête-toi lorsque ce qui reste est de degré inférieur à celui du diviseur : 3 ne contient pas de x, contrairement à x + 1. La réponse s’écrit quotient plus reste sur diviseur, tout comme 97 sur 4 vaut 24 plus 1 sur 4 :

(x^2 + 3x + 5)/(x + 1) = x + 2 + 3/(x + 1)

On vérifie de la même manière : (x + 1)(x + 2) + 3 redonne x^2 + 3x + 5.