À l’extérieur des racines

Inversion de la question. ${x}^{2}-3x-10 \ge 0$ se factorise en $\left(x-5\right)\left(x+2\right) \ge 0$, et demande pour quelles valeurs le produit est positif ou nul. Un produit est positif lorsque ses deux facteurs ont le même signe. Il y a donc deux cas de signes : les deux facteurs sont supérieurs ou égaux à 0, ou les deux sont inférieurs ou égaux à 0.

Les deux facteurs sont supérieurs ou égaux à 0 : $x \ge 5$ et $x \ge -2$. Tous les nombres à partir de 5 vérifient les deux conditions, donc ce cas donne $x \ge 5$. Les deux facteurs sont inférieurs ou égaux à 0 : $x \le 5$ et $x \le -2$, ce qui donne $x \le -2$. La réponse comporte deux intervalles distincts, les nombres situés à l’extérieur des racines : $x \le -2$ ou $x \ge 5$.

Le mot ou est important. Aucun nombre n'est à la fois inférieur ou égal à -2 et supérieur ou égal à 5, donc relier les morceaux avec et ne décrirait rien. Le signe égal est également important : en -2 et en 5, le produit est égal à 0, ce que le signe autorise ; les deux extrémités font donc partie de la réponse.