Puissances quatrièmes

${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$ ressemble à une équation difficile de degré quatre, mais elle ne comporte que ${x}^{4}$ et ${x}^{2}$, et ${x}^{4}$ est égal à ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$. Considère ${x}^{2}$ comme une seule inconnue : tu obtiens alors une équation du second degré, avec cette inconnue au carré, moins 17 fois cette inconnue, plus 16. Deux nombres dont le produit est 16 et la somme -17 sont -1 et -16 ; l’équation se factorise donc en $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$.

Chaque parenthèse est une différence de carrés, donc le membre de gauche se décompose en quatre facteurs : $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$. En distinguant les cas, tu obtiens quatre solutions : 1, -1, 4 et -4. Une équation de degré quatre admet au maximum quatre solutions, et celle-ci les possède toutes.

Toutes les expressions entre parenthèses ne donnent pas des solutions réelles. ${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$ se factorise en $\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$, et ${x}^{2} = -4$ n'a pas de solution réelle, puisque le carré d'un nombre réel n'est jamais négatif. Les seules solutions réelles sont 5 et -5.