Puissances quatrièmes

Fait partie de la section Polynômes et expressions rationnelles du Journey Algebra 2 de Coddy. Leçon 20 sur 54.

x^4 - 17x^2 + 16 = 0 ressemble à une équation difficile de degré quatre, mais elle ne comporte que x^4 et x^2, et x^4 est égal à (x^2)^2. Considère x^2 comme une seule inconnue : tu obtiens alors une équation du second degré, avec cette inconnue au carré, moins 17 fois cette inconnue, plus 16. Deux nombres dont le produit est 16 et la somme -17 sont -1 et -16 ; l’équation se factorise donc en (x^2 - 1)(x^2 - 16) = 0.

Chaque parenthèse est une différence de carrés, donc le membre de gauche se décompose en quatre facteurs : (x + 1)(x - 1)(x + 4)(x - 4). En distinguant les cas, tu obtiens quatre solutions : 1, -1, 4 et -4. Une équation de degré quatre admet au maximum quatre solutions, et celle-ci les possède toutes.

Toutes les expressions entre parenthèses ne donnent pas des solutions réelles. x^4 - 21x^2 - 100 = 0 se factorise en (x^2 - 25)(x^2 + 4) = 0, et x^2 = -4 n'a pas de solution réelle, puisque le carré d'un nombre réel n'est jamais négatif. Les seules solutions réelles sont 5 et -5.