Le théorème des facteurs

Fait partie de la section Polynômes et expressions rationnelles du Journey Algebra 2 de Coddy. Leçon 8 sur 54.

Un reste nul est le cas particulier. Si p(a) = 0, la division par x - a ne laisse aucun reste, donc p(x) = (x - a)q(x) et x - a est un facteur. Cela fonctionne aussi dans l’autre sens : si x - a est un facteur, alors p(a) = 0. C’est le théorème des facteurs.

Prenons p(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2. Est-ce que x - 1 est un facteur ? Calculons p(1) : 1 - 2 - 1 + 2 est égal à zéro, donc oui. Est-ce que x - 3 est un facteur ? p(3) vaut 27 - 18 - 3 + 2, soit 8, donc non : la division par x - 3 laisserait un reste de 8.

Une seule évaluation remplace une longue division entière. Elle relie également les facteurs aux racines : x - 1 est un facteur exactement lorsque 1 est une racine, le point où le graphe de p rencontre l’axe des x. Pour x + 4, testez p(-4).

Défi

x + 2 est-il un facteur de p(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4 ? Puisque x + 2 est x - (-2), le tableau contient la valeur de p en -2. Appuie sur Use p(x) = ..., puis saisis le calcul ligne par ligne.

Essayez vous-même

p(-2)

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