Différence de cubes

${x}^{3}-64$ n’a pas de termes à regrouper, mais présente une structure particulière : ${x}^{3}$ correspond à x au cube et 64 à 4 au cube. Toute différence de deux cubes se factorise de la même façon :

$${a}^{3}-{b}^{3} = \left(a-b\right)\left({a}^{2}+ab+{b}^{2}\right)$$

Avec a = x et b = 4, on obtient ${x}^{3}-64 = \left(x-4\right)\left({x}^{2}+4x+16\right)$. Développez pour voir pourquoi cela fonctionne : x multiplié par le grand crochet donne ${x}^{3}+4{x}^{2}+16x$, et -4 multiplié par celui-ci donne $-4{x}^{2}-16x-64$. Les termes du milieu s’annulent, ce qui laisse ${x}^{3}-64$.

Le facteur quadratique ${x}^{2}+4x+16$ n’a pas de facteurs réels : son discriminant, 16 - 64, est négatif, donc ses deux racines sont complexes. Ainsi, 4 est l’unique racine réelle de ${x}^{3}-64$. Apprenez les cubes 1, 8, 27, 64 et 125 afin de pouvoir repérer le motif.