Différence de cubes

x^3 - 64 n’a pas de termes à regrouper, mais présente une structure particulière : x^3 correspond à x au cube et 64 à 4 au cube. Toute différence de deux cubes se factorise de la même façon :

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Avec a = x et b = 4, on obtient x^3 - 64 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16). Développez pour voir pourquoi cela fonctionne : x multiplié par le grand crochet donne x^3 + 4x^2 + 16x, et -4 multiplié par celui-ci donne -4x^2 - 16x - 64. Les termes du milieu s’annulent, ce qui laisse x^3 - 64.

Le facteur quadratique x^2 + 4x + 16 n’a pas de facteurs réels : son discriminant, 16 - 64, est négatif, donc ses deux racines sont complexes. Ainsi, 4 est l’unique racine réelle de x^3 - 64. Apprenez les cubes 1, 8, 27, 64 et 125 afin de pouvoir repérer le motif.