Regroupement jusqu’au bout

Parfois, après avoir regroupé les termes, la parenthèse reste à factoriser. Prenons ${x}^{3}+2{x}^{2}-9x-18$. La première paire est ${x}^{2}\left(x+2\right)$. Pour la deuxième paire, factorisons par -9, et non par 9 : $-9x-18$ donne $-9\left(x+2\right)$. C'est le fait de mettre le signe moins en facteur qui permet d'obtenir des parenthèses identiques.

Mettons maintenant le facteur commun en évidence : $\left(x+2\right)\left({x}^{2}-9\right)$. Mais ${x}^{2}-9$ est une différence de carrés, donc elle se factorise aussi :

$${x}^{3}+2{x}^{2}-9x-18 = \left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)$$

La factorisation est terminée uniquement lorsqu’aucun facteur entre parenthèses ne peut être davantage factorisé. Chaque facteur donne une racine ; ce polynôme du troisième degré s’annule donc en -2, -3 et 3.