Eine Kurve ändert ihre Änderungsrate
Teil des Abschnitts Funktionen und Transformationen der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 46 von 58.
Eine Kurve hat keine konstante Änderungsrate. Betrachte g(x) = x^2. Von x = 0 bis x = 2 steigt der Funktionswert von 0 auf 4, also beträgt die Änderungsrate 4 durch 2, also 2. Von x = 2 bis x = 4 steigt der Funktionswert von 4 auf 16, also beträgt die Änderungsrate 12 durch 2, also 6. Die Intervalle sind gleich breit, die Änderungsrate ist dreimal so groß.
Der Graph zeigt, warum. Rechts von 0 wird die Parabel mit zunehmendem x steiler, daher ist auch die Gerade durch zwei weiter rechts liegende Punkte steiler. Die Änderungsrate bezieht sich auf das Intervall, nicht auf die Funktion. Gib daher immer an, welches Intervall du meinst.
Ein Intervall kann sogar eine Änderungsrate von 0 ergeben. Von x = -2 bis x = 2 sind die Ausgabewerte 4 und 4: Die Kurve ging nach unten und wieder nach oben auf dieselbe Höhe, sodass sie sich im Durchschnitt überhaupt nicht verändert hat.
Aufgabe
Für f(x) = x^2 bestimme die durchschnittliche Änderungsrate von x = 2 bis x = 5. Wende die Regel auf beide Funktionswerte an und gib dann die Rechenzeile Schritt für Schritt ein.
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Alle Lektionen in Funktionen und Transformationen
1Funktionen – noch einmal
f(x) kennenlernenEingaben und AusgabenJeweils eine AusgabeNegative EingabenWiederholung: Funktionswerte bestimmen4Funktionen kombinieren
Funktionen addierenFunktionen subtrahierenFunktionen multiplizierenAn einer einzelnen ZahlWiederholung: Kombinieren2Ausdrücke als Eingaben
Ein Buchstabe als EingabeEine Summe als EingabeDie Eingabe verschiebenf(x) = k lösenRückblick: Eingaben als Ausdrücke5Komposition
Eins im anderenDie Reihenfolge zähltEine Funktion ihrer selbstRegeln zusammensetzenIn Teile zerlegenRückblick: Komposition8Strecken und Spiegeln
Höher und flacherUmklappenSpiegeln, dann verschiebenDie Regel lesenRückblick: Strecken und Spiegeln11Abschließende Herausforderungen
Abschluss: Innen und außenAbschluss: Die UmkehrungAbschluss: Bewege das VAbschluss: Wo f wohntAbschluss: Die Vermietung3Definitionsbereich und Wertebereich
Was der Definitionsbereich istKeine Division durch nullKeine Wurzeln aus negativen ZahlenDer WertebereichZusammenfassung: Definitionsbereich6Umkehrfunktionen
Eine Funktion rückgängig machenVertauschen und lösenBrüche bei UmkehrfunktionenEine Umkehrfunktion überprüfenEin Funktionswert der UmkehrfunktionRückblick: Umkehrfunktionen9Änderungsrate
Durchschnittliche ÄnderungsrateEine Gerade behält ihre Änderungsrate beiEine Kurve ändert ihre ÄnderungsrateGeschwindigkeit als ÄnderungsrateRückblick: Änderungsrate